Analisi Matematica, A.A. 2009-2010

Modalità d'esame e programma

stilato dai rappresentanti con approvazione da parte del docente, prof. Alfio Marini

Testo d'esame e tempo

Il compito di base è diviso in due sezioni con i seguenti punti e livelli di sufficienza minimi da conseguire in entrambi i moduli (l'insufficienza in uno dei due moduli rende automaticamente insufficiente l'esame):

Il tempo totale è di 3 ore.

Studenti iscritti precedentemente all'A.A. 2008-2009

Gli studenti iscritti agli A.A. 2008-2009 e seguenti (ordinamento 270/04) non possono sostenere l'esame in due moduli separati. A coloro che, iscrittisi negli A.A. 2007-2008 e precedenti (ordinamento 509/99), devono fare solo uno dei moduli saranno aggiunti alla parte corrispondente un numero di esercizi per 10 punti (circa) con un ricalcolo della sufficienza e del tempo che da:

Iscrizione e modalità

Iscrizione su esse3 obbligatoria, portare un documento di riconoscimento.

All'esame sono consentiti solo carta e penna, null'altro.

Il compito sarà distribuito almeno in quattro versioni differenti.

Programma

Matematica 1

Insiemi, unione, intersezione, insieme delle parti. Numeri interi e razionali.
Gli assiomi dei numeri reali e loro proprietà fondamentali.
Rappresentazione dei numeri reali, notazione decimale.
Introduzione alle funzioniLe funzioni, iniettive, suriettive, composizione di funzioni e funzione inversa.
Somma, prodotto, rapporto di funzioni, funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni polinomiali, radicali, esponenziali.
Funzioni logaritmiche, trigonometriche, valore assoluto.
Insiemi limitati, massimi e minimi, estremi inferiore e superiore, funzioni limitate.
Limiti per x tendente a infinito, esempi, unicità del limite.
Successioni e relazione tra limitatezza, monotonia e convergenza. Limiti per x tendente a un valore finito.
Esempi di calcolo di limiti, limiti da destra e sinistra, operazioni con i limiti.
Continuità, continuità delle funzioni elementari e composizione di funzioni continue, cambio di variabile nei limiti.
Limiti in forma indeterminata, calcolo dei limiti per confronto, alcuni limiti fondamentali.
Criterio del rapporto, altri limiti fondamentali, asintoti.
Zeri di funzione, esistenza di zeri in una funzione continua (teorema di Bolzano), definizione di derivata.
Derivata delle funzioni lineari, formule di derivazione, derivata delle funzioni elementari.
Derivata delle funzioni trigonometriche, derivata di composizione e dell'inversa, derivate di ordine superiore, teorema de L'Hôpital.
La retta tangente, relazione tra derivata e crescita, criterio di monotonia, formula di Taylor, teorema del valor medio.
Funzioni con derivata nulla, relazione tra convessità, concavità e derivata seconda.
Punti di massimo e minimo, teorema di Weierstrass, esempi ed esercizi.
Massimi e minimi relativi, punti critici, criterio della derivata seconda, ricerca di massimi e minimi.
Studio del grafico di una funzione, esempi.
Studio del grafico di una funzione, esempi, esercizi di ricapitolazione su quanto fatto fino alla presente data.
Introduzione all'integrale di Riemann, esempi di funzioni non integrabili.
Esempi di funzioni integrabili, proprietà fondamentali dell'integrale, primitive, teorema fondamentale del calcolo integrale.
Integrale indefinito, proprietà delle primitive, esempi.
Integrale per parti, esempi.
Integrali per sostituzione, esempi.
Integrali di funzioni non limitate e su intervalli non limitati.

Matematica 2

Sistemi di coordinate nello spazio tridimensionale, vettori, componenti di un vettore.
Il prodotto scalare, proiezioni, esempi, esercizi.
Il prodotto vettoriale, esempi, esercizi.
Prodotti tripli, equazioni di rette e piani, distanze, esempi, esercizi.
Funzioni a valori vettoriali e curve nello spazio, loro derivazioni.
Regole di derivazione di funzioni vettoriali, ascissa curvilinea.
Vettore normale tangente, curvatura, esempi.
Versori normale e binormale, terna ortonormale mobile, esempi.
Funzioni di più variabili, limiti e continuità.
Derivate parziali e di ordine superiore, piano tangente.
Approssimazioni lineari, differenziabilità, derivate direzionali, vettore gradiente.
Valori di massimo e minimo, test delle derivate seconde, massimi e minimi assoluti di funzioni continue su insiemi chiusi e limitati.
Integrali doppi su rettangoli, loro proprietà, integrali iterati, teorema di Fubini, integrali doppi su regioni generiche regolari.
Integrali doppi in coordinate polari, area di una superficie regolare. Integrali tripli, iterati e su regioni generiche

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